コラッツ予想:到達する数の最大値に関して

これまでは、stopping timesに関して分布を調べましたが、同様の考え方で、[1,n]までの数の中で、コラッツの操作を繰り返した時に到達しうる最大の数(以下M)を理論的に予測します。

負方向の定数ドリフトのブラウン運動モデルにおいて、

Xから出発した場合にX<Yに到達する確率は、

$p_n(Y)=\exp(-2v(Y-X(n)))$ であることが知られています。

$p_k(Y)$ をk=1〜nで和を取ると、[1,n]に含まれる数のうち、Yに到達すると期待される個数になります。 $dn=s\frac{dX}{n}$ より、

$\sum_{k=1}^{n}exp(-2v(Y-X(n))\sim\frac{1}{s}\int_{0}^{s\log(n)}exp(-2v(Y-X)+X/s)dX$

$\sim(2vs+1)exp(-2vY+(2vs+1)\log(n))$

この値がほぼ1となるYが最大到達数Mです。

$Y=s\log(M)$ と合わせて

$M=O(n^{1+\frac{1}{2vs}})$

となることが予想されます。

この結果は、まだ数値シミュレーションを行ってないので、後日検証予定です。

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