コラッツ予想:stopping timesの最大値に関して

stopping timesの度数分布F_X(T_s)を利用して

[1,n]までのstopping timesの最大値T_Mを予測する。

度数分布の積分形の式において、 $u=\frac{x}{T_s}$ と変数変換を行うと

$\frac{\sqrt{T_s(s+v)}}{\sqrt{2\pi}s}\int_{0}^{X/T_s} \frac{u}{(u+2)^{3/2}}exp(T_s(- \frac{(3u-2v)^2}{2(3+v)(u+2)}+ \frac{u}{s})$ ・・・(1)

となる。まず、積分を実行する。

E[T_s]=3X/(2v)であり、3/(2v)〜6であることを考慮し、T_sがXに比べて十分大きい領域を考える。そこで、被積分関数に関して、uの一次までで展開を行うと、

$\frac{u}{2\sqrt(2)}\exp(-\frac{T_sv^2}{3+v})\exp(T_s(\frac{3v}{3+v}-\frac{v^2}{2(3+v)}+\frac{1}{s})u)$

$\beta=\frac{3v}{3+v}+\frac{1}{s}-\frac{v^2}{2(3+v)}$ と

置くと、積分は

$\exp(-\frac{v^2T_s}{3+v})\exp(\beta X) (\frac{X}{T_s}\frac{1}{\beta T_s}+\frac{1}{(T_s\beta)^2})-\frac{1}{(T_s\beta)^2})$

T_sとしてO(10)以上の場合を考え、β〜1であることを考慮し、第2項以下を無視します。(1)式に代入して、O(1)になるのが最大のstopping timesなので、

$\frac{-v^2}{(3+v)}T_s+\beta X-\frac{1}{2}\log(T_s)+\log(\frac{T_S}{X})\sim0$

$T_{M0}=\frac{(3+v)\beta X}{v^2}$ の周りで展開すると、

$-\frac{v^2}{3+v}\delta T_s\sim\frac{1}{2}\log{T_{M0}}+\log(\frac{T_{M0}}{X})$

よって、

$T_M\sim\frac{3+v}{v^2}(\beta X-\frac{1}{2}\log(\frac{(3+v)\beta X}{v^2})-\log(\frac{(3+v)\beta}{v^2}))$

$\gamma=\frac{3+v}{v^2}\beta=\frac{3}{v}+\frac{3+v}{sv^2}-\frac{1}{2}$

$T_M\sim\gamma X-\frac{3\gamma}{2\beta}\log(\gamma)-\frac{\gamma}{2\beta}log(X)$

趣味の研究