微分方程式を使った解析に関して
コラッツ予想の到達時間の解析では、確率分布を用いて解析を行いました。
ここでは、もう少し詳細に解析できるように
色々考察してみます。ステップは
1)first passage timeの特性関数の方程式の導出
2)幾何ブラウン運動の例
3)線形確率微分方程式への適用
となります。
まず、
確率過程として、
を考えます。前のコラッツのモデルでは、
としました。
以下では、μ, σはtに非依存であるとします。
確率過程に対するFokker-Planck 方程式は、
eq(1)
となります。
x=1に吸収壁がある場合のfirst passage timeを求める際、上記の偏微分方程式をの境界条件で解いて、
を求めることにより、時刻t(first passage time)にx=1に初めて到達する確率f(t)を求めることができます。ここで、とします。
次にf(t)の、特性関数を求めます。
以下のような関数を考えます。
g(x)に対する微分方程式を導出します。
eq(1)の両辺にを乗算し、tで積分すると、
となり、二階微分方程式のグリーン関数を求める問題に帰着します。
となります。
次に、この式にを乗算し、で積分すると、
を得ます。
即ち、
の解を求め、
に基づいてfirst passage timeの確率分布関数の特性関数を算出することができます。