特性関数の解析 - 趣味の研究

線形確率過程の特性関数の解析の続きです。

$\int_{0}^{\infty}\exp(ikt)f(t)dt=(\frac{\xi+\eta}{1+\eta})^{-\beta}\frac{\Psi_k(1+\eta)}{w(1+\eta)\Psi_k(\xi+\eta)}$

ここで、

$\Psi_k(x)=(\alpha-1)w_d(x)z(x)-(\beta-1)w(x)z_d(x)$

k=0を代入すると、

$1=\frac{\Psi_0(1+\eta)}{w(1+\eta)\Psi_0(\xi+\eta)}$

が成り立ちます。

次に、 $\frac{d}{d(ik)}$ を作用させてk=0と置くと、

$E[t]=\int_{0}^{\infty}t\exp(ikt)f(t)dt=\frac{1}{\mu}\log(\xi+\eta)+C+O(\xi^{-1})$

ここで、Cは $\xi$ に依存しない定数です。

幾何ブラウン運動の場合と比べて、定数Cだけ異なります。

2回 $\frac{d}{d(ik)}$ を作用させてk=0と置くと、

$E[t^2]=\int_{0}^{\infty}t^2\exp(ikt)f(t)dt=\frac{\sigma^2}{\mu^3}\log(\xi+\eta)+\frac{1}{\mu^2}\log(\xi+\eta)^2+\frac{2C}{\mu}\log(\xi+\eta)+D+O(\xi^{-1})$

ここから、 $E[t]^2$ を引くと、

$V[t]=\frac{\sigma^2}{\mu^3}\log(\xi+\eta)+D-C^2+O(\xi^{-1})$

となり、これも幾何ブラウン運動の場合と比べて定数だけ異なる結果となります。