コラッツ予想:確率モデルのまとめ
ひたすら数式が続いたのでまとめます。
まず、幾何ブラウン運動を用いてコラッツの操作をモデル化しました。
分かったこと
1) stopping time, first passage timeの特性関数の導出→平均値、分散値の導出
2) ある数を何回通過するかの統計値→到達する最大の数の理論式を導出
3) stopping timeのヒストグラムの導出→最大stopping timeの理論式を導出
1)の予測にずれがあったので、幾何ブラウン運動から線形確率過程への拡張をしました(まだ記載が不十分な部分があります)。
4) Fokker-Planck方程式からfirst passage timeの特性関数が満たすべき微分方程式の導出
5) 微分方程式からグリーン関数を構築し、特性関数の関数形を導出
6) first passage timeの平均値、分散値の導出
1)のずれに関して
幾何ブラウン運動モデルを用いて、first passage timeの分散を求めると、
以下のグラフになります。
線形確率過程では、幾何ブラウン運動の結果に定数項だけ補正が入るので、より一致することが予測されます。