素数の分布を直感的に・・・
素数の分布に関しては、素数定理があるのですが、証明は難しそうなので・・・
自分なりに考えてみました。
数学的な厳密さは全くないので、かなり雰囲気です。
とします。(素数の記号pとまぎらわしいので、添え字にπをつけました)
【準備】:素数に関する和の近似
に個だけ素数があるとみなせるので、
がおおむね成り立つと予想されます。(かなりいい加減)
N以下の数を考えたとき、素数の倍数が出現する確率は一様分布になります。
逆に、素数の倍数でない確率は、です。
の領域において、x未満に存在するどの素数の倍数にもならない確率は、
eq(1)
です。ここで、Kはx未満の最大の素数のインデックスです。
eq(1)は、に素数が含まれる確率と解釈することができるので、
両辺の対数をとると、
【準備】で記載した和の近似を用いると、
さらに積分範囲の上限をからで近似し、
ここまで整数だったので、一様分布で議論してきましたが、一般的な確率分布に従う場合も同様の議論ができると思います。両辺をxで微分して、
微分方程式の要領で解くと、
右辺の積分は、
よって、
となって結果を得ます。