趣味の研究

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素数の分布を直感的に・・・

素数の分布に関しては、素数定理があるのですが、証明は難しそうなので・・・

自分なりに考えてみました。

数学的な厳密さは全くないので、かなり雰囲気です。

k番目の素数p_kとします。また、[x,x+\delta x]素数が含まれる確率を

p_\pi(x)\delta xとします。(素数の記号pとまぎらわしいので、添え字にπをつけました)

【準備】:素数に関する和の近似  

[x,x+\delta x]p_\pi(x)\delta x個だけ素数があるとみなせるので、

\sum_{k=1}^{K} f(p_k)\sim \int_{2}^{p_K}f(x) p_\pi(x)dx

がおおむね成り立つと予想されます。(かなりいい加減)

 

N以下の数を考えたとき、素数p_kの倍数が出現する確率は一様分布になります。

逆に、素数p_kの倍数でない確率は、1-\frac{1}{p_k}です。

[x,x+\delta x]の領域において、x未満に存在するどの素数の倍数にもならない確率は、

\Pi_{k=1}^K (1-\frac{1}{p_k})      eq(1)

です。ここで、Kはx未満の最大の素数のインデックスです。

eq(1)は、[x,x+\delta x]素数が含まれる確率と解釈することができるので、

p_\pi(x)=\Pi_{k=1}^K (1-\frac{1}{p_k}) 

両辺の対数をとると、

\log(p_\pi(x))=\sum_{k=1}^K\log (1-\frac{1}{p_k}) 

【準備】で記載した和の近似を用いると、

\log(p_\pi(x))\sim \int_{2}^{p_K}\log(1-\frac{1}{t}) p_\pi(t)dt 

さらに積分範囲の上限をp_Kからxで近似し、

 \log(p_\pi(x))=\int_{2}^{x}\log(1-\frac{1}{t}) p_\pi(t)dt 

ここまで整数だったので、一様分布で議論してきましたが、一般的な確率分布に従う場合も同様の議論ができると思います。両辺をxで微分して、

  \frac{\frac{dp_\pi(x)}{dx}}{p_\pi(x)}=\log(1-\frac{1}{t}) p_\pi(x) 

微分方程式の要領で解くと、

\frac{1}{p_\pi(x)}=-\int dx \log(1-\frac{1}{x})+C

右辺の積分は、

 -\int dx \log(1-\frac{1}{x})=\int dx (\log(x)-\log(x-1) )=x\log(x)-(x-1)\log(x-1)=\log(x)+(x-1)\log(1+\frac{1}{x-1})\sim \log(x)+1

よって、

p_\pi(x)\sim \frac{1}{\log(x)+ C}\sim \frac{1}{\log(x)}

となって結果を得ます。