チェビシェフ不等式の拡張

定理

・連続値の場合

Xを $X \in \mathcal{R}$ に値をとる確率変数とし、Xの平均値を $\mu$ 、分散を $\sigma^2$ 、 $f(X)$ を確率密度関数とする。

また、m(k)を $m(k)=\sup_{|x-\mu|\geq k\sigma} f(x)$ で定義する。

このとき $r\in (\frac{1}{2},\infty)$ かつk>0なるすべてのk, rに対し、

$Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}{(\frac{2\sigma k^3}{2r-1}m(k) )}^{\frac{1}{r+1}}$

が成り立つ。

特に、 $r\rightarrow \infty$ でチェビシェフ不等式に一致する。

・離散値の場合

Xを $X\in\mathcal{Z}$ に値をとる確率変数とし、 $p(X)$ を確率質量関数とする。

m(k)を $m(k)=\sup_{\{\lfloor {x-\mu} \rfloor\geq k\sigma\}\cup\{\lceil {x-\mu} \rceil\leq -k\sigma\}} p(x)$ で定義し、 $\alpha$ を $\alpha=1+\frac{1}{12\sigma^2}$ で定義する。

このとき $r\in (\frac{1}{2},\infty)$ かつk>0なるすべてのk, rに対し、

$Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac{\alpha}{k^2}{(\frac{2\sigma k^3}{(2r-1)\alpha}m(k) )}^{\frac{1}{r+1}}$

が成り立つ。

証明

$F(k)=\int_{|x-\mu|\geq k\sigma}dx \frac{f(x)}{Pr_k}\frac{1}{|x-\mu|^{2r}}$ .

となる関数を考える。

ここで、

$Pr_k=Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)$ とした。

m(k)の定義から、

$F(k)\leq 2\frac{m(k)}{Pr_k}\int_{x-\mu\geq k\sigma} dx(x-\mu)^{-2r}=\frac{2m(k)}{(2r-1)Pr_k {(k\sigma)}^{2r-1}}$ eq(1)

が成り立つ。

また、F(k)の式を

$F(k)=\int_{|x-\mu|\geq k\sigma}dx\frac{f(x)}{Pr_k}\frac{1}{|x-\mu|^{2r}}=\int_{(x-\mu)\geq k\sigma}dx\frac{f(x)+f(-x)}{Pr_k}\frac{1}{{(x-\mu)}^{2r}}$ eq(2)

と変形する。

Prの定義から、 $\int_{(x-\mu)\geq k\sigma}\frac{f(x) + f(-x)}{Pr_k}=1$ であり、

$\frac{1}{x^r}$ は $x\geq 0$ において凸関数、 $\int_{(x-\mu) \geq k\sigma }dx (x-\mu)^2 \frac{f(x)+f(-x)}{Pr_k}\geq {(k\sigma)}^2$ となることに注意すると、

eq(2)に対して、イェンセンの不等式を適用することができ、

$\int_{(x-\mu)\geq k\sigma}dx\frac{f(x)+f(-x)}{Pr_k}\frac{1}{(x-\mu)^{2r}}\geq\frac{1}{s_k^r}$ となる。

ここで、

$s_k=\frac{1}{Pr_k}\int_{(x-\mu)\geq k\sigma}dx (f(x) + f(-x) )(x-\mu)^2 dx=\frac{1}{Pr_k}\int_{|x-\mu|\geq k\sigma}dx f(x){(x-\mu)}^2 dx\leq\frac{\sigma^2}{Pr_k}$