ひたすら数式が続いたのでまとめます。 まず、幾何ブラウン運動を用いてコラッツの操作をモデル化しました。 分かったこと 1) stopping time, first passage timeの特性関数の導出→平均値、分散値の導出 2) ある数を何回通過するかの統計値→到達する最大の数…

線形確率過程の特性関数の解析の続きです。ここで、 k=0を代入すると、 が成り立ちます。 次に、を作用させてk=0と置くと、 ここで、Cはに依存しない定数です。 幾何ブラウン運動の場合と比べて、定数Cだけ異なります。 2回を作用させてk=0と置くと、 ここか…

いよいよ線形確率過程の場合の式の導出に移ります。線形確率過程とは、線形微分方程式の確率過程を表すものとします。 これまで、まわりくどくグリーン関数を構成してきたのは、線形確率過程の場合、線形確率微分方程式やFokker-Planckを直接解析するのが困…

以下では負方向にドリフトがある場合の幾何ブラウン運動を考えます。 ここでは、Xの対数を取った場合のドリフトをとしました。 これに対するg(x)の微分方程式は、 これは、Eulerの方程式であり、Sturm-Liouville方程式の場合のグリーン関数を求める手法が適…