これまで解析してきた線形確率微分方程式の結果をコラッツの操作にあてはめます。 一般化されたコラッツの操作として、 1)nが奇数なら、3n+2l+1 2)nが偶数なら、n/2 を考えます。 もし、nが奇数ならば、1)と2)の操作を合わせて1回としてカウントします。 一…

線形確率微分方程式のモデルをコラッツ予想の操作に適用して分かったこと。後日、導出過程をきちんと書きたいと思います。 以下の、コラッツ予想もしくは、コラッツ予想を拡張した問題 1) nが奇数ならば、3n+2l+1 2)nが偶数ならば、n/2 の操作を繰り返すと、…

Consider linear SDE process. Here, are constant. The ODE for this process, eq(2) Here, represents , and represents . We write the independent solutions for this ODE after geometric Brownian motion. are the solution of quadratic equation. W…

We think about the geometric Bownian motion with negative drift. Here, is the drift of The ODE for g(x) is This ODE is Euler equation, we solve the Green function in the same way of Sturm-Liouville equation. Transform the equation like Stu…

We analyze the stochastic model including stochastic model of Collatz process. The step is １.Derive the formula of the characteristic function of the first passage time, and probability function of the passage frequency. 2)Example of geom…

ひたすら数式が続いたのでまとめます。 まず、幾何ブラウン運動を用いてコラッツの操作をモデル化しました。 分かったこと 1) stopping time, first passage timeの特性関数の導出→平均値、分散値の導出 2) ある数を何回通過するかの統計値→到達する最大の数…

線形確率過程の特性関数の解析の続きです。ここで、 k=0を代入すると、 が成り立ちます。 次に、を作用させてk=0と置くと、 ここで、Cはに依存しない定数です。 幾何ブラウン運動の場合と比べて、定数Cだけ異なります。 2回を作用させてk=0と置くと、 ここか…

いよいよ線形確率過程の場合の式の導出に移ります。線形確率過程とは、線形微分方程式の確率過程を表すものとします。 これまで、まわりくどくグリーン関数を構成してきたのは、線形確率過程の場合、線形確率微分方程式やFokker-Planckを直接解析するのが困…

以下では負方向にドリフトがある場合の幾何ブラウン運動を考えます。 ここでは、Xの対数を取った場合のドリフトをとしました。 これに対するg(x)の微分方程式は、 これは、Eulerの方程式であり、Sturm-Liouville方程式の場合のグリーン関数を求める手法が適…

コラッツ予想の到達時間の解析では、確率分布を用いて解析を行いました。 ここでは、もう少し詳細に解析できるように 色々考察してみます。ステップは １)first passage timeの特性関数の方程式の導出 2)幾何ブラウン運動の例 3)線形確率微分方程式への適用 …

I derived the frequency distribution of stopping times in the previous article. The histgram of stopping times from 1 to 10^8 is shown in the following cite. https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture#/media/File:CollatzStatistic100m…

コラッツの操作によるstopping times(到達時間)の分布関数を解析的に導くことを考えます。 分布関数の近似形、以前導いた最大のstopping times、そして、頻度が最大となるstopping timesも新たに導くことが可能になります。 ひたすら計算が続きますが・・・…

This is the same contents as previous articles written in Japanese. This article is NOT the proof of collatz conjecture, I constructed stochastic model of stopping times using Brownian motin model with constant drift. Stopping times means …

I have applied Brownian motin model with costant drift to collatz sequences, and derived some fornula. We thnk about the collatz sequences of natural number and stopping times . "Stopping times" means operation times the collatz sequences …

コラッツの操作に対し、定数ドリフトのある場合のブラウン運動モデルをあてはめ、到達回数(stopping times)に関する解析を行いました。とします。はモデル的には1ですが、1.015くらいの値の方がよくフィッティングします。 自然数のstopping timesの分布は …

The comparison result of actual caliculation and the model predictionThe blue line:actual caliculation The orange line : model prediction到達する最大値の比較。オレンジがモデルから予測された線、青が実際に数値実験を行った結果です。 予測式は…

stopping timesの度数分布F_X(T_s)を利用して [1,n]までのstopping timesの最大値T_Mを予測する。 度数分布の積分形の式において、と変数変換を行うと ・・・(1) となる。まず、積分を実行する。 E[T_s]=3X/(2v)であり、3/(2v)〜6であることを考慮し、T_sがX…

The comparison result of stochastic model and actual Collatz sequences in the case of expected value and variance of stopping times.The blue line represents the actual sequences and the organe line represents the model prediction.stopping …

コラッツの操作の統計的振る舞いの数値シミュレーションと、それを予測する算出式をpythonでプログラムしたものです。 グラフのプロット部分がまだ未完成なので、後日修正します。 # -*- coding: utf-8 -*-"""Created on Thu Nov 9 21:29:36 2017 @author: H…

これまでは、stopping timesに関して分布を調べましたが、同様の考え方で、[1,n]までの数の中で、コラッツの操作を繰り返した時に到達しうる最大の数(以下M)を理論的に予測します。 負方向の定数ドリフトのブラウン運動モデルにおいて、 Xから出発した場合にX

コラッツ予想において、1に到達するまでの操作回数（以下、stopping times）のモデルを構築します。 とします。 が奇数なら、でステップ数：+2 が偶数なら、でステップ数が+1となります。 上記操作の後、次の数が偶数か奇数になる確率は1/2であると仮定しま…

コラッツの操作に関する統計的振る舞いのモデル化に際し、記号の定義を行います。 Definition: が奇数のときは、 が奇数のときはg(n)=n/2とします。 fとgの合計をステップ数と呼ぶことにします。 対象とする自然数:n 1に到達するまでのステップ数(stopping t…

このブログは、コラッツ予想を解くものではありません。 また、数学的な厳密さは全くないので、直感的な説明にとどまっています。 以下では、コラッツ予想が正しいとして話を進めます。 コラッツの操作を繰り返したときに1に到達するまでの操作回数(stopping…