正規分布に対して、以前の記事で導いた不等式と、今回導いたlog凹関数版の不等式を比較してみます。 "1-CDF"が実際の正規分布の値、"New bound1"がr=3で計算した値、"New bound2(log-concavity)"がlog凹関数版の不等式でr=1で計算した値です。 log凹関数版の…

定理 を平均値 、分散 の確率変数とする。 を確率密度関数かつ対数凹関数であるとする。 かすべてのに対し成り立ち、 の極限で に収束するものとする。 m(K)をで定義する。 このとき、すべての で か成り立つ。 また、においては、 が成り立つに対して、同様…

Theorem Let be a log-concave random variable with expected value and variable . Let be a probability distribution function and hold for all . Let as . Let be . Then, for any , . For , if k satisfies the condition , the same inequality hold…

定理 ・連続値の場合 Xを に値をとる確率変数とし、Xの平均値を 、分散を 、 を確率密度関数とする。 また、m(k)をで定義する。 このとき かつk>0なるすべてのk, rに対し、 が成り立つ。 特に、でチェビシェフ不等式に一致する。 ・離散値の場合 Xをに値をと…

Theorem1 Let be a random variable with expected value and variable . Let be a probability distribution function. Let be . Then, for any r and k>0, , inequality in continuous case coincides with Chebyshev inequality. Theorem 2 Let be a rand…