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チェビシェフ不等式の拡張（続き）

定理

X \in \mathcal{R} を平均値 \mu、分散 \sigma^2の確率変数とする。

f(x)を確率密度関数かつ対数凹関数であるとする。

f(x)\leq f(\mu)かすべての|x-\mu|\geq k\sigmaに対し成り立ち、

|x|\rightarrow \inftyの極限で

 f(x)x\rightarrow 0 に収束するものとする。

m(K)をm(k)=\max(f(\mu+k\sigma), f(\mu-k\sigma) )で定義する。

このとき、すべての r\geq \frac{1}{2}で

Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2}{[\frac{\sigma k^3 \{f(\mu+k\sigma) + f(\mu-k\sigma)\}}{\log(\frac{f(\mu)}{m(k)}) + 2r-1}]}^{\frac{1}{r+1}}

か成り立つ。

また、0\leq r\leq \frac{1}{2}においては、

\log(\frac{f(\mu)}{m(k)}) + 2r-1\geq 0が成り立つkに対して、同様の不等式が成り立つ。

 

特に r=0,  r=\frac{1}{2},  r=1の場合はそれぞれ

Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{k\sigma \{f(\mu+k\sigma) + f(\mu-k\sigma)\}}{\log(\frac{f(\mu)}{em(k)})}.

Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)\leq [{\frac{\sigma \{f(\mu+k\sigma) + f(\mu-k\sigma)\}}{\log(\frac{f(\mu)}{m(k)})}]}^{\frac{2}{3}}.

Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)\leq [{\frac{\sigma \{f(\mu+k\sigma) + f(\mu-k\sigma)\}}{k\log(\frac{ef(\mu)}{m(k)})}]}^{\frac{1}{2}}

となる。

  

証明

仮定より、 0\leq \lambda\leq 1に対し、対数凹関数の不等式f(x+\lambda(y-x) )\geq f(x){(\frac{f(y)}{f(x)})}^{\lambda} 

が成り立つ。

両辺から f(x) を引き、\lambdaで除算して\lambda\rightarrow 0の極限をとると、

(y-x)\frac{df(x)}{dx}\geq f(x)(\log(f(y) )-\log(f(x) )

となる。

 y=\muとおくと、

(\mu-x)\frac{df(x)}{dx}\geq f(x)(\log(f(\mu) )-\log(f(x) )           eq(1)

この不等式から、f(x)\leq f(\mu) かつ、x-\mu\geq 0なるxに対し、\frac{df(x)}{dx}\leq 0 が成り立つ。

即ち、f(x)はx-\mu\geq 0で単調減少する。

同様に、f(x)はx-\mu\leq 0で単調増加する。

よって、 \sup_{|x-\mu|\geq k\sigma} f(x)=\max(f(\mu+k\sigma), f(\mu-k\sigma) )が成り立つ。

 |x-\mu|^{-2r}をeq(1)に乗算し、区間|x-\mu|\geq k\sigmaで積分して、左辺を部分積分すると、

\int_{|x-\mu|\geq k\sigma}dx (\mu-x)|x-\mu|^{-2r}\frac{df(x)}{dx}=(k\sigma)^{1-2r}\{f(\mu+k\sigma) + f(\mu-k\sigma)\}+(1-2r)\int_{x-\mu\geq k\sigma}dx (x-\mu)^{2r} \{f(x) + f(-x) \}

また、右辺に対しては、

\int_{|x-\mu|\geq k\sigma}dx |x-\mu|^{-2r}f(x)(\log(f(\mu) )-\log(f(x) )\geq (\log(f(\mu) )-\log(m(k) )\int_{x-\mu\geq k\sigma}dx (f(x) + f(-x) ){(x-\mu)}^{-2r}   

を得る。

これらを合わせて、

(k\sigma)^{1-2r}\{f(\mu+k\sigma) + f(\mu-k\sigma)\} \geq (\log(f(\mu) )-\log(m(k) +2r-1)Pr_k\int_{x-\mu\geq k\sigma}dx \frac{f(x) + f(-x)}{Pr_k}{(x-\mu)}^{-2r}   eq(2)

ここで、

Pr_k=Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)

と置いた。

Prの定義から、 \int_{(x-\mu)\geq k\sigma}\frac{f(x) + f(-x)}{Pr_k}=1 かつ、

\frac{1}{x^r}はx\geq 0で凸関数であり、\int_{(x-\mu) \geq k\sigma }dx (x-\mu)^2 \frac{f(x)+f(-x)}{Pr_k}\geq {(k\sigma)}^2

が成り立つ。

eq(2)の右辺の項に対して、Jensenの不等式を適用すると、

\int_{(x-\mu)\geq k\sigma}dx\frac{f(x)+f(-x)}{Pr_k}\frac{1}{(x-\mu)^{2r}}\geq\frac{1}{s_k^r}.

を得る。ここで、

s_k=\int_{(x-\mu)\geq k\sigma}dx \frac{f(x)+f(-x)}{Pr_k}(x-\mu)^2 dxであり、

s_k=\frac{1}{Pr_k}\int_{(x-\mu)\geq k\sigma}dx (f(x) + f(-x) )(x-\mu)^2 dx=\frac{1}{Pr_k}\int_{|x-\mu|\geq k\sigma}dx f(x){(x-\mu)}^2 dx\leq\frac{\sigma^2}{Pr_k}

が成り立つ。

まとめると、eq(2)は

(k\sigma)^{1-2r}\{f(\mu+k\sigma) + f(\mu-k\sigma)\} \geq (\log(f(\mu) )-\log(m(k) +2r-1) \frac{Pr_k^{r+1}}{\sigma^{2r}}

となり、\log(\frac{f(\mu)}{m(k)})+2r-1\geq 0が成り立つならば、不等式を変形して、

Pr(|x-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2}{(\frac{\sigma k^3 \{f(\mu+k\sigma) + f(\mu-k\sigma)\}}{\log(\frac{f(\mu)}{m(k)})+2r-1})}^{\frac{1}{r+1}}.

 となって求める式を得る。