これまで解析してきた線形確率微分方程式の結果をコラッツの操作にあてはめます。 一般化されたコラッツの操作として、 1)nが奇数なら、3n+2l+1 2)nが偶数なら、n/2 を考えます。 もし、nが奇数ならば、1)と2)の操作を合わせて1回としてカウントします。 一…

線形確率微分方程式のモデルをコラッツ予想の操作に適用して分かったこと。後日、導出過程をきちんと書きたいと思います。 以下の、コラッツ予想もしくは、コラッツ予想を拡張した問題 1) nが奇数ならば、3n+2l+1 2)nが偶数ならば、n/2 の操作を繰り返すと、…

Consider linear SDE process. Here, are constant. The ODE for this process, eq(2) Here, represents , and represents . We write the independent solutions for this ODE after geometric Brownian motion. are the solution of quadratic equation. W…

We think about the geometric Bownian motion with negative drift. Here, is the drift of The ODE for g(x) is This ODE is Euler equation, we solve the Green function in the same way of Sturm-Liouville equation. Transform the equation like Stu…

We analyze the stochastic model including stochastic model of Collatz process. The step is １.Derive the formula of the characteristic function of the first passage time, and probability function of the passage frequency. 2)Example of geom…

ひたすら数式が続いたのでまとめます。 まず、幾何ブラウン運動を用いてコラッツの操作をモデル化しました。 分かったこと 1) stopping time, first passage timeの特性関数の導出→平均値、分散値の導出 2) ある数を何回通過するかの統計値→到達する最大の数…

線形確率過程の特性関数の解析の続きです。ここで、 k=0を代入すると、 が成り立ちます。 次に、を作用させてk=0と置くと、 ここで、Cはに依存しない定数です。 幾何ブラウン運動の場合と比べて、定数Cだけ異なります。 2回を作用させてk=0と置くと、 ここか…

いよいよ線形確率過程の場合の式の導出に移ります。線形確率過程とは、線形微分方程式の確率過程を表すものとします。 これまで、まわりくどくグリーン関数を構成してきたのは、線形確率過程の場合、線形確率微分方程式やFokker-Planckを直接解析するのが困…

以下では負方向にドリフトがある場合の幾何ブラウン運動を考えます。 ここでは、Xの対数を取った場合のドリフトをとしました。 これに対するg(x)の微分方程式は、 これは、Eulerの方程式であり、Sturm-Liouville方程式の場合のグリーン関数を求める手法が適…

コラッツ予想の到達時間の解析では、確率分布を用いて解析を行いました。 ここでは、もう少し詳細に解析できるように 色々考察してみます。ステップは １)first passage timeの特性関数の方程式の導出 2)幾何ブラウン運動の例 3)線形確率微分方程式への適用 …

I derived the frequency distribution of stopping times in the previous article. The histgram of stopping times from 1 to 10^8 is shown in the following cite. https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture#/media/File:CollatzStatistic100m…