コラッツ予想:線形確率微分方程式のモデル

線形確率微分方程式のモデルをコラッツ予想の操作に適用して分かったこと。

後日、導出過程をきちんと書きたいと思います。

以下の、コラッツ予想もしくは、コラッツ予想を拡張した問題

1) nが奇数ならば、3n+2l+1

2)nが偶数ならば、n/2

の操作を繰り返すと、いずれは1もしくは3に到達する。

が成り立つならば、吸収壁ありの線形確率微分方程式のモデルで統計的振る舞いを記述することができます。

以下でfirst passage timeとは、吸収壁に到達するまでの操作回数であり、nが奇数の場合は、1),2)を合わせて一回とカウントすることにします。

n付近の数から出発した場合、

・線形確率微分方程式のモデルは、n>O(10)では、ほぼ幾何ブラウン運動のモデルに一致。

・ 1(もしくは、3)へのfirst passage timeの平均、分散は、log(n)の一次式で記述可能。例えば平均値は、6.95log(n)+C程度。分散は、100log(n)+D程度。

・最大到達数は、n^2にほぼ比例。

・n以下のある数xを通過する回数は、ほぼ7/xとなり、、nより大きい数xを通過する回数は、7n/x^2程度。

・first passage timeの最大値は、log(n)の一次式で近似可能。

コラッツ予想が成り立たない、もしくはサイクルを含むような操作の場合は、線形確率微分方程式のモデルから値がずれます。

その場合は、反射壁ありのモデルが有効なのかもしれません。