コラッツ予想:到達する数の最大値に関して
これまでは、stopping timesに関して分布を調べましたが、同様の考え方で、[1,n]までの数の中で、コラッツの操作を繰り返した時に到達しうる最大の数(以下M)を理論的に予測します。
負方向の定数ドリフトのブラウン運動モデルにおいて、
Xから出発した場合にX<Yに到達する確率は、
であることが知られています。
をk=1〜nで和を取ると、[1,n]に含まれる数のうち、Yに到達すると期待される個数になります。より、
この値がほぼ1となるYが最大到達数Mです。
と合わせて
となることが予想されます。
この結果は、まだ数値シミュレーションを行ってないので、後日検証予定です。