コラッツのモデルの詳細化

いよいよ線形確率過程の場合の式の導出に移ります。線形確率過程とは、線形微分方程式の確率過程を表すものとします。

これまで、まわりくどくグリーン関数を構成してきたのは、線形確率過程の場合、線形確率微分方程式やFokker-Planckを直接解析するのが困難だからです。

以前のコラッツ予想のstopping timeの確率的モデルでは、幾何ブラウン運動を用いて解析を行いました。しかし、実際は、3x+1, x/2の操作を表現できる必要があるため、

$dX_t=( (-\mu +\frac{\sigma^2}{2})X_t+\sigma\eta)dt+(\sigma X_t+\sigma\eta)dW_t$

のような確率過程が妥当であると考えられます。

$\eta$ に $\sigma$ を乗算しているのは、計算の都合上で、本質的な意味はありません。

ここで、 $\eta\sigma$ は $\frac{3x+1}{2}$ の $\frac{1}{2}$ の部分を表しています。

この確率過程に対する微分方程式は、

$y=x+\eta$ と変数変換し、yを改めてxと置きます。

また、 $\xi+\eta$ を改めて $\xi$ と置きます。

$\frac{\sigma^2}{2}\frac{d^2}{dx^2}(x^2 g(x) )+\frac{d}{dx}( ( (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)x+\tau)g(x) )+ikg(t)=-\delta(x-\xi)$ eq(2)

ここで、

$\tau=-\eta\sigma-(\mu-\frac{\sigma^2}{2})\eta$

です。

この解を幾何ブラウン運動の場合を参考に

$y_1(x)=x^{\alpha-1}w(x)$

$y_2(x)=x^{\beta-1}z(x)$

のように記載します。

$\alpha, \beta$ は幾何ブラウン運動と同様、

$\frac{\sigma^2}{2}\lambda^2+\mu\lambda+ik=0$

この二次方程式の二つの解です。

これらの関数を微分した結果を

$(\alpha-1)x^{\alpha-2}w_d(x)$

$(\beta-1) x^{\beta-2}z_d(x)$

と置きます。ここでeq(2)は $X=\frac{1}{x}$ の変数変換を行うことにより、 $X=0$ に確定特異点を持つ微分方程式になるため、Frobeniusの級数展開が適用可能になります。よって、w,w_dなどの関数は、すべて1/xの多項式であり、定数係数が1となります。

また、kに依存するのが $x^{-l}$ の係数部分だけであるため、kで微分した結果は、O(1/x)になります。

Sturm-Liouville方程式のように書き換えた結果も同様に修正されます。

$r(x)\frac{d}{dx}(p(x)g(x))+q(x)=-\delta(x-\xi)$

となります。

ここで、

$r(x)=\frac{\sigma^2}{2}x^{-1-\frac{2\mu}{\sigma^2}}\exp(-\frac{2\tau}{\sigma^2 x})$

$p(x)=x^{3+\frac{2\mu}{\sigma^2}}\exp(\frac{2\tau}{\sigma^2 x})$

です。

グリーン関数も幾何ブラウン運動の場合と同様に構成でき、

x< $\xi$ の領域では、 $x=1+\eta$ で0になることから、

$y_1(x)+cy_2(x)$

$w(1+\eta)+cz(1+\eta)=0$

x> $\xi$ の領域ではx=∞で十分早く0に収束することから

$y_1(x)$ が境界条件を満たす解になります。

次にSturm-Liouville方程式のグリーン関数構成法に従い、グリーン関数を構成します。r(x)が乗算されている部分だけSturm-Liouville方程式とは異なるので、そこを考慮すると、

グリーン関数g(x)は、x< $\xi$ では、

$g(x)=-\frac{y_1(\xi)(y_1(x)+cy_2(x))}{A(\xi)}$

x> $\xi$ では、

$g(x)=-\frac{y_1(x)(y_1(\xi)+cy_2(\xi))}{A(\xi)}$

$A(\xi)=cp(\xi)r(\xi)(y'_1(\xi)y_2(\xi)-y_1(\xi)y'_2(\xi))$

です。

ここで、 $\alpha,\beta,c$ はkに依存することに注意しておきます。

A(x)は具体的には、

$A(\xi)=\frac{c\sigma^2}{2}\xi^{-1-\frac{2\mu}{\sigma^2}}\Psi_k(\xi)$

ここで、

$\Psi_k(x)=(\alpha-1)w_d(x)z(x)-(\beta-1)w(x)z_d(x)$

$(1+\eta)^{\alpha}w(1+\eta)+c(1+\eta)^{\beta}z(1+\eta)=0$

です。

ここで、k=0と置くと、 $\xi$ から出発して、いずれxに到達する回数を求めることができます。

k=0のとき、

$\alpha=-\frac{2\mu}{\sigma^2}$ , $\beta=0$ なので、

x< $\xi$ では、

$\frac{z(x)x^{-1}+\frac{w(x)z(1+\eta)}{w(1+\eta)}(\frac{x}{1+\eta})^{-\frac{2\mu}{\sigma^2}-1}}{\Psi_0(\xi)}$

x> $\xi$ では、

$({\frac{x}{\xi}})^{-\frac{2\mu}{\sigma^2}-1}\frac{z(\xi)\xi^{-1}+\frac{w(\xi)z(1+\eta)}{w(1+\eta)}(\frac{\xi}{1+\eta})^{-\frac{2\mu}{\sigma^2}-1}}{\Psi_0(\xi)}$

となります。

幾何ブラウン運動と同様、

first passage timeの確率分布の特性関数は、

$\int_{0}^{\infty}\exp(ikt)f(t)dt=-(\xi+\eta)^{-\beta}\frac{(\alpha-1)(1+\eta)^{\alpha}wd(1+\eta)+c(\beta-1)(1+\eta)^{\beta}zd(1+\eta)}{c( (\alpha-1) w_d(\xi+\eta)z(\xi+\eta)-(\beta-1)w(\xi+\eta)z_d(\xi+\eta) )}$