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素因数の数の確率分布

整数nの素因数の数は、 $\omega(n)$ と記述されます。

$\omega(n)$ が従う確率分布はLandauによって証明されていますが、ここでは

確率分布の考え方を用いてラフに求めてみます。

nは $n\in[x,x+\delta x]$ とし、x以下の最大素数のインデックスをKとします。

Kまでの数の集合を二つに分け、nに含まれる素因数のインデックスを $A_n$ , 含まれないインデックスを $B_n$ とします。 $\omega(n)=|A_n|$ です。

素数の出現確率を求めたのと同様に、 $\omega(n)=a$ となるnが出現する確率 $p_\omega(a,x)$ は、

$p_\omega(a,x)=\Pi_{k\in A_n} \frac{1}{p_k}\Pi_{k\in B_n}(1-\frac{1}{p_k})$

となります。そこで、以下の関数を考えてみます。

$\Pi_{k=1}^{K} (1-\frac{1}{p_k}+\frac{\exp(it)}{p_k})$

この関数を $\exp(it)$ について展開すると、 $\exp(ita)$ の係数は、素因数の数が $\omega(n)=a$ に等しいときの出現確率になります。

すなわち、

$\Pi_{k=1}^{K} (1-\frac{1}{p_k}+\frac{\exp(ita)}{p_k})=\sum_a \exp(ita) p_\omega(a,x)$

右辺は、 $p_\omega(a,x)$ の特性関数と等しくなります。

左辺をさらに計算します。

$\Pi_{k=1}^{K} (1-\frac{1}{p_k}+\frac{\exp(it)}{p_k})=\exp(\sum_{k=1}^{K} \log(1-\frac{1}{p_k}+\frac{\exp(it)}{p_k}) )$

ここで、

$\sum_{k=1}^{K} \log(1-\frac{1}{p_k}+\frac{\exp(it)}{p_k})$ に対して、和の近似を用いると、

$\sum_{k=1}^{K} \log(1-\frac{1}{p_k}+\frac{\exp(it)}{p_k})\sim \int_{2}^{x} \log(1-\frac{1}{x}+\frac{\exp(it)}{x}) p_\pi(x) dx \sim \int_{2}^{x} \frac{\exp(it)-1}{x} p_\pi(x) dx=(\exp(it)-1)(\log\log(x) -\log\log(2) )$

よって $p_\omega$ の特性関数は、

$\exp[(\log\log(x) -\log\log(2) )(\exp(it)-1)]$

となります。

特性関数について既知の分布と比較すると、これは $\lambda=\log(\log(x) )-\log(\log(2) )$ のPoisson分布の特性関数と等しいことが分かります。

よって、

$p_\omega(a,x)=\exp(-a)\frac{\lambda^a}{a!}$

$\lambda=\log\log(x) -\log\log(2)$

となります。