趣味の研究

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整数について考える

自然数の分布についてとりとめもなく考えてみました。

ある素数 $p_k$ に比べ、十分大きな数Mを考えます。

この中における、素因数 $p_k^{a_k}$ を持った数の割合は、おおむね

$p_k^{-a_k}-p_k^{-a_k-1}=(1-p_k^{-1})p_k^{-a_k}$ で近似されます。

a_kについての平均値は、

$\sum_{a_k=0}^{\infty}a_k(1-p_k^{-1})p_k^{-a_k}=\frac{p_k^{-1}}{1-p_k^{-1}}$ eq(1)

自然数を一様分布とみなすと、区間を限定したときにエントロピーが最大になる分布です。

そこで、eq(1)を拘束条件とし、最大エントロピー原理を適用して確率分布を求めてみます。

準備:

自然数N以下の素数を対象にし、区間 $I=[1,N^2]$ を考えます。

N以下の素数を $p_k$ , Nより大きく、 $N^2$ 以下の素数を $q_k$ と置くことにします、

このとき、 $p_k^2\in I$ なので、素数 $p_k$ は $p_k$ 個以上含まれます。よって、eq(1)は少なくとも一次以上の精度の近似式になります。

次に、確率変数Xを考え、Xの値域は $N^2$ 以下、かつ $p_k$ のみで構成される自然数とします。また、 $X=x_l$ となる確率を $p(x)$ とします。

拘束条件として、

$\sum_{l=1}^{\infty} f_k(x_l)p(x_l)=\frac{p_k^{-1}}{1-p_k^{-1}}$

を考え、最大エントロピー原理を適用すると、

$p(x)=\frac{1}{Z(\lambda_1,\lambda_2,\cdot\cdot\cdot)}\exp(-\sum \lambda_k f_k(x) )$

$f_k(x)$ は、xを素因数分解したときの素数 $p_k$ のベキを表しており、 $p(x)$ は、各素数が、xの素因数分解に対応したベキの値になる確率を表していると解釈されます。

このとき $\lambda_k=-\log(p_k)$ 、分配関数 $Z^{-1}=\Pi_k (1-p_k^{-1})$

となることを容易に確かめることができます。

これは、各素数 $p_k$ の倍数になる事象がが独立であり、 $p_k^a$ の倍数になる確率が、 $p_k^{-a}-p_k^{-a-1}$ 、素因数として含まない確率が、 $1-p_k^{-1}$ であるモデルと一致します。

このモデルでは、N以下の数 $m$ を取り出す確率が、 $N^{-1}$ となっていません。

なぜなら、 $\{p_k\}$ に関して $m$ と同じ素因数構成を持つ数を $m$ と同一視してカウントしているからです。

よって、実際の個数になおすためには、 $[N,N^2]$ に含まれ、mと同じ素因数構成を持つ数の個数を減算する必要があります。

構成から、その数はある $q_k$ を必ず一つだけ素因数に持ち、その個数は、 $[N,\frac{N^2}{m}]$ の個数と等しくなります。

また、 $p(m)=\frac{1}{m}\Pi_k (1-p_k^{-1})$ なので、

$p(m)-(\pi(\frac{N^2}{m})-\pi(N) )\sim O(N^{-1})$

が成立する必要があり、素数定理から導かれる $\pi(x)$ はこの式を満たしていると予想されます。