コラッツ予想:まとめ

コラッツの操作に対し、定数ドリフトのある場合のブラウン運動モデルをあてはめ、到達回数(stopping times)に関する解析を行いました。

$s=\frac{2}{\log3}\sim1.82$

$v=\alpha\frac{\log(\frac{4}{3})}{\log3}\sim0.262\alpha$

とします。

$\alpha$ はモデル的には1ですが、1.015くらいの値の方がよくフィッティングします。

自然数 $n$ のstopping times $T_s$ の分布は

$p_{n}(T_{s})=\frac{2\sqrt{3+v}}{\sqrt{2\pi(2T_{s}+(s\log(n)))^3)}}exp(-\frac{(3s\log(n)-2vT_{s})^2}{2(3+v)(2T_{s}+slog(n))})$

期待値と分散は、

$E[T_{s}]=\frac{3s\log(n)}{2v}$

$V[T_{s}]=\frac{(3+v)^2slog(n)}{4v^3}$

また、

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}E_n[T_{s}]\sim\frac{3s}{2v}(\log(n)-1)$

到達する数の最大値 $M$ は

$M\sim n^{1+\frac{1}{2vs}}$

stopping timesの最大値は

$\gamma=\frac{3}{v}+\frac{3+v}{sv^2}-\frac{1}{2}$

$\beta=\frac{v^2}{3+v}\gamma$

として、

$T_M\sim\gamma s\log(n)-\frac{3\gamma}{2\beta}\log(\gamma)-\frac{\gamma}{2\beta}log(s\log(n))$

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