コラッツ予想：Stopping timesのヒストグラムの関数形に関して

コラッツの操作によるstopping times(到達時間)の分布関数 $H(T_s)$ を解析的に導くことを考えます。

分布関数の近似形、以前導いた最大のstopping times、そして、頻度が最大となるstopping timesも新たに導くことが可能になります。

ひたすら計算が続きますが・・・。

本当は、特製関数からサクッと導きたかったのですが、うまくいきませんでした。

ブラウン運動モデルでは、自然数"n" が操作回数 $[t, t+dt]$ で1に到達する確率密度関数は以下で与えられます。

$p_x(t)dt$ .

(前の記事をご覧ください)

ここで、

$p_x(t)=\frac{x}{(2πt^3)^\frac{1}{2}}exp(-\frac{(x-vt)^2}{2t})$ .

到達時間 $T_s$ との関係は、

$T_{s}=\frac{(3+v)t-x}{2}$ eq.(1)

です。

あるnから出発して、 $[T_s, T_S+dT_s]$ 回で1に到達する確率は、

$\frac{2}{3+v}p_x(t)dT_s$ となります。

$T_s$ が一定の条件下で、nについて1〜Nまで和を取ると、N以下の数でstopping timesが $[T_s, T_S+dT_s]$ となる個数を得ることができます。

和を積分で近似して、

$H(T_s)=\frac{2}{(3+v)s}\int_{0}^{X} p_x(T_s) \exp(\frac{x}{s})dx$

ここで、 $X=s\log N$ です。

$H(T_s)$ は分布関数となります。

eq(1)より、

$x=(3+v)t-2T_s$

wを $w=\frac{t}{T_s}$ のように定義すると、

$\frac{x}{T_s}=(3+v)w-2$

さらに、積分範囲の変数を以下で定義します。

$w_{min}=\frac{2}{3+v}$

$w_{max}=w_{min}+\frac{X}{(3+v)T_s}$

すると、積分は以下の式で書けます。

$H(T_s)=\frac{2}{s}\sqrt{\frac{T_s}{2\pi}}\int_{w_{min}}^{w_{max}} dw\frac{(3+v)w-2}{(w^3)^\frac{1}{2}}\exp(f(w))$

ここで、

$f(w)=-T_s(\frac{(3w-2)^2}{2w}-\frac{(3+v)}{s}w+\frac{2}{s})$

$f(w)=T_s(-(\frac{9}{2}-\frac{3+v}{s})w-\frac{2}{w}+6-\frac{2}{s})=-(\frac{T_s A(w-B)^2}{w})+T_s(6-\frac{2}{s}-2AB)$

$A=\frac{9}{2}-\frac{3+v}{s}$

$B=\sqrt{\frac{2}{A}}$

です。

次に以下の積分公式を用い、

$\int dx\frac{\exp(\frac{a(x-b)^2}{x})}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a} b} (erfc(\frac{\sqrt{a}(b-x)}{\sqrt{x}})+\exp(4ab)erfc(\frac{\sqrt{a}(b+x)}{\sqrt{x}}))$

$\int dx\frac{\exp(\frac{a(x-b)^2}{x})}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}} (erfc(\frac{\sqrt{a}(b-x)}{\sqrt{x}})-\exp(4ab)(erfc(\frac{\sqrt{a}(b+x)}{\sqrt{x}}))$

関数、定数を以下のように定義します。

$\Phi(x)=erfc(\frac{\sqrt{AT_s}(B-x)}{\sqrt{x}})$

$\Psi(x)=erfc(\frac{\sqrt{AT_s}(B+x)}{\sqrt{x}})$

$C=\frac{(3+v)B-2}{2\sqrt{2A}B}=\frac{(3+v)B-2}{4}$

$D=\frac{(3+v)B+2}{2\sqrt{2A}B}=\frac{(3+v)B+2}{4}$

$\eta=6-\frac{2}{s}-2AB$

すると、

$H(T_s)=\frac{2}{s}[C(\Phi(w_{max})-\Phi(w_{min}))-D\exp(4ABT_s)(\Psi(w_{max})-\Psi(w_{min}))]\exp(\eta T_s)$

を得ます。

これが、分布関数を解析的に求めた結果です。

今 $T_s$ がO(10)以上の場合を考えると、誤差関数内の指数の肩は急激に変化します。 $\frac{\sqrt{a}(b-x)}{\sqrt{x}}$ はx>0に関して単調減少、

$\frac{\sqrt{a}(b+x)}{\sqrt{x}}$ は、 $x=b$ で最小値をとることを考慮すると、

0≦ $B-w_{max}$ の領域すなわち、

$(B(3+v)-2)T_s\sim 0.8T_s$ ≧ $X$ の領域では、 $w_{max}$ の項に比べ $w_{min}$ の項は比較的小さくなります。以下ではその場合について考察します。

誤差関数の漸近展開 $erfc(x)\sim\frac{\exp(-x^2)}{\sqrt{\pi}x}$ を $\Psi$ に適用して

$H(T_s)\sim\frac{2C}{s}\Phi(w_{max})\exp(\eta T_s)-\frac{2D\sqrt{w_{max}}}{s\sqrt{\pi AT_s}(B+w_{max})}\exp(T_s(-A\frac{(B-w_{max})^2}{w_{max}}+\eta))$